L'absence de mémoire

La queue. L'événement $[X>n]$ signifie que les $n$ premières épreuves ont échoué. Elles sont indépendantes et de probabilité d'échec $1-p$ :

$$P(X>n)=(1-p{)}^n.$$

(Par la série : ${\sum }_{k>n}p(1-p{)}^{k-1}=p(1-p{)}^n{\sum }_{j\ge 0}(1-p{)}^j=(1-p{)}^n$.)

L'absence de mémoire. Comme $[X>n+k]\subset [X>n]$, l'intersection vaut $[X>n+k]$ et

$$P_{[X>n]}(X>n+k)=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{(1-p{)}^{n+k}}{(1-p{)}^n}=(1-p{)}^k=P(X>k).$$

Ce que cela signifie. Sachant qu'on a déjà échoué $n$ fois, la loi du nombre d'essais restants est celle du départ. Le passé ne compte pas — contrairement à ce que croit le joueur persuadé qu'« un six va finir par sortir ».

Une caractérisation. La loi géométrique est la seule loi discrète sans mémoire ; son analogue continu, la loi exponentielle, est la seule dans son genre. C'est ce qui en fait le modèle des durées de vie « sans usure ».