L'approximation de Poisson, mise en chiffres

Ce qu'on montre. Comment se choisit le paramètre de l'approximation, et sur quel ordre de grandeur porte l'erreur commise.

La loi exacte. Les $500$ pièces sont indépendantes et chacune est défectueuse avec la même probabilité $p=0,004$ : $X$ compte les succès de $500$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, donc $$X\hookrightarrow \mathcal{B}(500;0,004),E(X)=500\times 0,004=2.$$

L'approximation. Le théorème du cours affirme que si $X_n\hookrightarrow \mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda }{n}\right)$, alors $P(X_n=k)\to {\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$. Ici $n=500$ est grand, $p=0,004$ est petit, et leur produit vaut $\lambda =np=2$ : les conditions du modèle des événements rares sont réunies. On approche donc la loi de $X$ par $\mathcal{P}(2)$.

Les valeurs approchées. $$P(X=0)\approx {\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,13534,$$ $$P(X\le 2)\approx {\mathrm{e}}^{-2}\left(1+2+\frac{4}{2}\right)=5{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,67668.$$

Les valeurs exactes. $$P(X=0)=(0,996{)}^{500}\approx 0,13479,$$ $$P(X=1)=500\times 0,004\times (0,996{)}^{499}\approx 0,27067,P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{500}{2})(0,004{)}^2(0,996{)}^{498}\approx 0,27121,$$ d'où $P(X\le 2)\approx 0,676677$.

La comparaison.

• $P(X=0)$ : exact $0,13479$, Poisson $0,13534$, écart $5,4\cdot 10^{-4}$ ;
• $P(X\le 2)$ : exact $0,676677$, Poisson $0,676676$, écart $4\cdot 10^{-7}$.

L'approximation est excellente, et l'accord sur $P(X\le 2)$ est spectaculaire : les erreurs commises sur les trois termes sont de signes opposés et se compensent presque exactement. C'est un accident heureux, non une règle — sur un terme isolé, l'erreur reste de l'ordre de $5\cdot 10^{-4}$, et c'est cet ordre-là qu'il faut retenir.

Ce qui la rend bonne. Deux conditions, et non une seule : $n$ grand ($500$) et $p$ petit ($0,004$), leur produit restant modéré. Si l'on avait $n=500$ et $p=0,4$, le paramètre serait $\lambda =200$ et l'approximation de Poisson serait sans valeur — la loi binomiale y est concentrée et symétrique, ce que $\mathcal{P}(200)$ ne reproduit pas dans les queues.

Contrôle qualitatif. La loi de Poisson vérifie $E=V=\lambda =2$ ; la binomiale a $E=2$ et $V=500\times 0,004\times 0,996=1,992$. Les deux variances sont presque égales, ce qui est le signe attendu d'une bonne approximation.