L'espérance par les queues

Ce qu'on montre. Une identité entre sommes partielles, valable sans hypothèse de convergence, dont les deux implications se déduisent ensuite.

L'identité de départ. Fixons $N\ge 1$. Pour $0\le n\le N-1$, découpons la queue : $$P(X>n)=\sum _{k=n+1}^{N}P(X=k)+P(X>N).$$ Sommons sur $n$ de $0$ à $N-1$. Dans la double somme, un terme $P(X=k)$ (avec $1\le k\le N$) apparaît pour chaque $n$ vérifiant $n<k$, c'est-à-dire exactement $k$ fois. Donc $$\sum _{n=0}^{N-1}P(X>n)=\sum _{k=1}^{N}kP(X=k)+NP(X>N).$$ Notons $S_N={\sum }_{k=0}^{N}kP(X=k)$ ; le terme $k=0$ étant nul, l'identité s'écrit $$\sum _{n=0}^{N-1}P(X>n)=S_N+NP(X>N).(\star )$$

Premier sens. Supposons $\sum P(X>n)$ convergente, de somme $T$. Tous les termes de $(\star )$ étant positifs, $$S_N\le \sum _{n=0}^{N-1}P(X>n)\le T.$$ La série $\sum kP(X=k)$ est à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées : d'après le cours, elle converge. Donc $X$ admet une espérance, et $E(X)\le T$.

Second sens, et l'égalité. Supposons que $X$ admette une espérance. Majorons le terme de bord de $(\star )$ : pour $k>N$ on a $N<k$, donc $$0\le NP(X>N)=N\sum _{k>N}P(X=k)\le \sum _{k>N}kP(X=k).$$ Le membre de droite est le reste de la série convergente $\sum kP(X=k)$ : il tend vers $0$. Par encadrement, $NP(X>N)\to 0$.

En faisant $N\to +\infty$ dans $(\star )$ : le membre de droite tend vers $E(X)+0$, donc le membre de gauche converge et $$\sum _{n=0}^{+\infty }P(X>n)=E(X).$$ Les deux sens combinés donnent l'équivalence annoncée et l'égalité.

Vérification sur une loi géométrique. Soit $X\hookrightarrow \mathcal{G}(p)$, à valeurs dans ${\mathbb{N}}^{\ast }$ donc dans $\mathbb{N}$. On a établi $P(X>n)=(1-p{)}^n$ pour $n\in \mathbb{N}$. La série géométrique de raison $1-p\in ]0,1[$ converge, et $$\sum _{n=0}^{+\infty }(1-p{)}^n=\frac{1}{1-(1-p)}=\frac{1}{p}.$$ On retrouve exactement $E(X)=\frac{1}{p}$, valeur donnée par le cours.

Point délicat. Le terme $NP(X>N)$ ne s'évanouit pas gratuitement : c'est un produit d'un facteur qui tend vers l'infini par un facteur qui tend vers $0$. C'est la convergence de $\sum kP(X=k)$ qui le rend négligeable — et sans elle, l'identité $(\star )$ reste vraie mais ne donne aucune égalité de limites.