mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 10 · Exercice d'entraînement

L'espérance par les queues

Probabilités sur un ensemble quelconque · Couples, espérance et variance · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}$. Montrer que $X$ admet une espérance si et seulement si la série ${\sum }_{n\ge 0}P(X>n)$ converge, et qu'alors $$E(X)=\sum _{n=0}^{+\infty }P(X>n).$$ Vérifier la formule sur une loi géométrique.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.