L'inégalité de Markov, et sa limite

Ce qu'on montre. L'emploi direct de l'inégalité de Markov, et le fait qu'elle peut ne rien dire du tout.

Les hypothèses. $X$ est positive et admet une espérance : l'inégalité de Markov du cours s'applique, et donne pour tout $\lambda >0$ $$P(X\ge \lambda )\le \frac{E(X)}{\lambda }.$$

Première majoration. Avec $\lambda =20$ : $$P(X\ge 20)\le \frac{5}{20}=\frac{1}{4}=0,25.$$ Une information utile : au plus une chance sur quatre de dépasser quatre fois la moyenne.

Seconde majoration. Avec $\lambda =4$ : $$P(X\ge 4)\le \frac{5}{4}=1,25.$$ Cette majoration est vide : toute probabilité est déjà inférieure ou égale à $1$. L'inégalité est correcte, mais elle n'apprend rien.

La règle générale. L'inégalité de Markov n'apporte de l'information que lorsque $\lambda >E(X)$, c'est-à-dire lorsqu'on interroge un dépassement strictement au-delà de la moyenne. En deçà, elle est automatiquement satisfaite.

Point délicat. Une majoration correcte n'est pas nécessairement informative. Avant d'écrire une borne, il vaut mieux vérifier qu'elle est inférieure à $1$ — faute de quoi la conclusion est du même ordre que « une probabilité est inférieure à $1$ ».