La borne de Bienaymé-Tchebychev est-elle améliorable ?

On cherche une variable concentrée en trois points. Soit $X$ de loi

$$P(X=-\epsilon )=P(X=\epsilon )=\frac{p}{2},P(X=0)=1-p.$$

C'est bien une loi : les trois nombres sont positifs et de somme $1$.

Espérance et variance. Par symétrie, $E(X)=-\epsilon \frac{p}{2}+\epsilon \frac{p}{2}=0$. Le théorème de transfert donne $E(X^2)={\epsilon }^2\frac{p}{2}+{\epsilon }^2\frac{p}{2}=p{\epsilon }^2$, d'où par Kœnig-Huygens

$$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=p{\epsilon }^2.$$

Les deux membres. À gauche, $[|X-E(X)|\ge \epsilon ]=[X=-\epsilon ]\cup [X=\epsilon ]$, donc $P(|X-E(X)|\ge \epsilon )=p$. À droite, $\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}=\frac{p{\epsilon }^2}{{\epsilon }^2}=p$. Les deux valent $p$ : l'inégalité est une égalité.

La conclusion. Aucune constante $c<1$ ne peut rendre vraie la majoration $P(|X-E(X)|\ge \epsilon )\le c\frac{V(X)}{{\epsilon }^2}$ pour toutes les variables aléatoires : l'exemple ci-dessus la contredirait. La borne de Bienaymé-Tchebychev est donc optimale dans sa généralité.

Et pourtant elle est mauvaise en pratique. Sur une binomiale ou une loi de Poisson, elle dépasse la valeur exacte d'un facteur qui se compte en dizaines. Il n'y a pas de contradiction : l'égalité n'est atteinte que par une loi très particulière, celle qui pose toute sa masse écartée exactement à la distance $\epsilon$.

Le point à retenir. Une inégalité universelle se juge sur son cas d'égalité, pas sur un exemple favorable. L'améliorer exige d'ajouter une hypothèse sur la loi ; sans hypothèse, on ne peut pas faire mieux.