La loi du minimum

Notons $M=\min (X,Y)$. On passe par la queue, où l'indépendance se lit directement :

$$P(M\ge k)=P(X\ge k\text{et}Y\ge k)=P(X\ge k)P(Y\ge k)={\left(\frac{7-k}{6}\right)}^2,$$

puisque $X\ge k$ compte $7-k$ valeurs favorables sur $6$.

D'où la loi, par différence :

$$P(M=k)=P(M\ge k)-P(M\ge k+1)=\frac{(7-k{)}^2-(6-k{)}^2}{36}=\frac{13-2k}{36},1\le k\le 6.$$

Soit, numériquement :

$$\begin{array}{ccccccc}k& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ 36P(M=k)& 11& 9& 7& 5& 3& 1\end{array}$$

La somme des numérateurs vaut $36$ : la loi est bien normalisée.

L'espérance : $E(M)=\frac{11+18+21+20+15+6}{36}=\frac{91}{36}\approx 2,53$ — nettement en dessous de $3,5$, la moyenne d'un seul dé.

La méthode à retenir : pour un minimum, on ne calcule jamais directement $P(M=k)$ ; on passe par $P(M\ge k)$, qui se factorise. Pour un maximum, c'est $P(M\le k)$ qui se factorise.