La probabilité qu'une loi de Poisson soit paire

Ce qu'on montre. Que la somme des termes d'indice pair d'une série exponentielle s'obtient en additionnant les développements de ${\mathrm{e}}^{\lambda }$ et de ${\mathrm{e}}^{-\lambda }$ : les termes impairs s'y détruisent.

La quantité à calculer. Les valeurs paires forment un sous-ensemble de $X(\Omega )=\mathbb{N}$, et les événements $[X=2k]$ sont deux à deux incompatibles, donc par $\sigma$-additivité $$P(X\text{ pair})=\sum _{k=0}^{+\infty }P(X=2k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{2k}}{(2k)!}.$$

La somme des termes d'indice pair. Le cours donne, pour tout réel $x$, $\sum _{n\ge 0}\frac{x^n}{n!}={\mathrm{e}}^x$. Écrivons cette identité en $\lambda$ et en $-\lambda$ : $${\mathrm{e}}^{\lambda }=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^n}{n!},{\mathrm{e}}^{-\lambda }=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n{\lambda }^n}{n!}.$$ Les deux séries convergent absolument, on peut donc les additionner terme à terme. Pour $n$ impair, $1+(-1{)}^n=0$ ; pour $n$ pair, $1+(-1{)}^n=2$. Donc $${\mathrm{e}}^{\lambda }+{\mathrm{e}}^{-\lambda }=2\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{2k}}{(2k)!},\text{d’ouˋ}\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{{\lambda }^{2k}}{(2k)!}=\frac{{\mathrm{e}}^{\lambda }+{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{2}.$$

Conclusion. $$P(X\text{ pair})={\mathrm{e}}^{-\lambda }\cdot \frac{{\mathrm{e}}^{\lambda }+{\mathrm{e}}^{-\lambda }}{2}=\frac{1+{\mathrm{e}}^{-2\lambda }}{2}.$$

Les deux limites.

• Quand $\lambda \to 0^{+}$ : ${\mathrm{e}}^{-2\lambda }\to 1$, donc $P(X\text{ pair})\to 1$. C'est cohérent : pour $\lambda$ très petit, $X$ vaut $0$ avec une probabilité voisine de $1$, et $0$ est pair.
• Quand $\lambda \to +\infty$ : ${\mathrm{e}}^{-2\lambda }\to 0$, donc $P(X\text{ pair})\to \frac{1}{2}$. La parité devient une question de pile ou face — la masse se répartit sur de très nombreuses valeurs, également entre paires et impaires.

Dans tous les cas $P(X\text{ pair})>\frac{1}{2}$ : une loi de Poisson penche toujours du côté pair, d'autant plus nettement que $\lambda$ est petit.

Contrôle numérique. Pour $\lambda =1$ : la formule donne $\frac{1+{\mathrm{e}}^{-2}}{2}\approx \frac{1,1353}{2}=0,5677$. Le calcul direct des premiers termes donne ${\mathrm{e}}^{-1}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{24}+\frac{1}{720}\right)\approx 0,3679\times 1,5431\approx 0,5677$. Les deux coïncident.