mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 10 · Exercice d'entraînement

Le minimum de deux temps d'attente

Probabilités sur un ensemble quelconque · Lois géométrique et de Poisson · niveau 2

Énoncé

Soient $X ↪ G (p)$ et $Y ↪ G (q)$ indépendantes, avec $p, q \in] 0, 1 [$ . Déterminer la loi de $M = min (X, Y)$ , puis $E (M)$ . Traiter le cas $p = q = \frac{1}{2}$ .

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Élève

Pour la loi de $M$ , je découpe $[M = k]$ en trois cas : $X = k$ et $Y > k$ , $X > k$ et $Y = k$ , puis $X = Y = k$ . Ça marche, mais les calculs deviennent lourds. Y a-t-il plus simple ?

Ta décomposition est juste. Pour un minimum, il existe un événement plus commode que $[M = k]$ , qui s'écrit à l'aide de $X$ et de $Y$ sans distinguer de cas : lequel ?

Élève

Je pense à $[M > n]$ : le minimum dépasse $n$ quand les deux variables le dépassent. Mais je ne connais pas $P (X > n)$ directement, seulement $P (X = k)$ .

Tu peux l'obtenir en sommant les $P (X = k)$ pour $k > n$ : quelle série reconnais-tu ? Et une fois $P (M > n)$ connue pour tout $n$ , comment en déduire $P (M = k)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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