Le minimum de deux temps d'attente

Ce qu'on montre. Que le minimum se traite par la queue $P(M>n)$, jamais directement par $P(M=k)$ — et que cette queue se factorise grâce à l'indépendance.

La queue d'une loi géométrique. Pour $n\in \mathbb{N}$, $$P(X>n)=\sum _{k=n+1}^{+\infty }p(1-p{)}^{k-1}=p(1-p{)}^n\sum _{j=0}^{+\infty }(1-p{)}^j=p(1-p{)}^n\times \frac{1}{p}=(1-p{)}^n,$$ en posant $j=k-n-1$ et en utilisant la série géométrique de raison $1-p\in ]0,1[$.

La queue du minimum. L'événement $[M>n]$ signifie que les deux variables dépassent $n$ : $$[M>n]=[X>n]\cap [Y>n].$$ Les variables étant indépendantes, les probabilités se multiplient : $$P(M>n)=(1-p{)}^n(1-q{)}^n=[(1-p)(1-q){]}^n.$$

Identification de la loi. Posons $r=1-(1-p)(1-q)$. Comme $0<(1-p)(1-q)<1$, on a $r\in ]0,1[$, et $P(M>n)=(1-r{)}^n$. Alors, pour $k\ge 1$, $$P(M=k)=P(M>k-1)-P(M>k)=(1-r{)}^{k-1}-(1-r{)}^k=(1-r{)}^{k-1}[1-(1-r)]=r(1-r{)}^{k-1}.$$ C'est exactement la loi géométrique : $$M\hookrightarrow \mathcal{G}(r),r=1-(1-p)(1-q)=p+q-pq.$$

L'espérance. Le cours donne $E(M)=\frac{1}{r}=\frac{1}{p+q-pq}$.

Le cas $p=q=\frac{1}{2}$. Alors $r=1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$, donc $M\hookrightarrow \mathcal{G}\left(\frac{3}{4}\right)$ et $E(M)=\frac{4}{3}\approx 1,33$. Contrôle : chaque variable a pour espérance $2$ ; attendre le premier des deux succès doit prendre moins longtemps, et $\frac{4}{3}<2$. De plus $P(M=1)=\frac{3}{4}$ : c'est bien la probabilité qu'au moins l'une des deux expériences réussisse dès le premier essai, soit $1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}$.

Point délicat. Le raisonnement direct « $P(M=k)=P(X=k)P(Y\ge k)+\dots$ » est possible mais pénible, et sujet au double comptage du cas $X=Y=k$. Passer par $[M>n]=[X>n]\cap [Y>n]$ évite entièrement ce piège : c'est le réflexe pour tout minimum.