Le mode d'une loi de Poisson

On compare deux termes consécutifs au lieu d'étudier une fonction : pour $k\ge 1$, les deux probabilités sont strictement positives et

$$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=\frac{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^k/k!}{{\mathrm{e}}^{-\lambda }{\lambda }^{k-1}/(k-1)!}=\frac{\lambda }{k}.$$

Le rapport tranche. Il vaut plus de $1$ si et seulement si $k<\lambda$, exactement $1$ si $k=\lambda$, et moins de $1$ si $k>\lambda$. La suite $(P(X=k){)}_{k\ge 0}$ croît donc strictement tant que $k<\lambda$, puis décroît strictement dès que $k>\lambda$ : elle passe par un sommet, sans jamais y revenir.

Si $\lambda$ n'est pas entier, aucun $k$ ne vaut $\lambda$ : le maximum est atteint en l'unique entier $k=\lfloor \lambda \rfloor$.

Si $\lambda$ est un entier non nul, le rapport vaut exactement $1$ pour $k=\lambda$ : les deux valeurs $\lambda -1$ et $\lambda$ donnent la même probabilité, maximale toutes les deux.

Un exemple. Pour $\lambda =3$ : $P(X=2)=P(X=3)={\mathrm{e}}^{-3}\frac{9}{2}\approx 0,224$, et toute autre valeur est strictement plus petite. Pour $\lambda =3,5$, le maximum est en $k=3$ seul.

Le point à retenir. Pour une loi à valeurs entières, le quotient de deux termes consécutifs remplace la dérivée : il donne le sens de variation de la suite des probabilités sans le moindre calcul d'analyse. La même méthode donne le mode d'une loi binomiale.