Le paramètre lu sur la loi

Ce qu'on montre. Qu'une égalité entre deux probabilités ponctuelles détermine le paramètre, une fois les facteurs communs simplifiés.

L'équation. Par définition de la loi de Poisson, $$P(X=1)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^1}{1!}=\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda },P(X=2)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^2}{2!}=\frac{{\lambda }^2}{2}{\mathrm{e}}^{-\lambda }.$$ L'égalité s'écrit donc $$\lambda {\mathrm{e}}^{-\lambda }=\frac{{\lambda }^2}{2}{\mathrm{e}}^{-\lambda }.$$

La résolution. Le facteur ${\mathrm{e}}^{-\lambda }$ est strictement positif, on peut simplifier. Il reste $\lambda =\frac{{\lambda }^2}{2}$, soit $\lambda \left(1-\frac{\lambda }{2}\right)=0$. Or le paramètre d'une loi de Poisson vérifie $\lambda >0$, ce qui exclut la solution $\lambda =0$. Donc $$\lambda =2.$$

Les caractéristiques. Le cours donne $E(X)=V(X)=\lambda$, donc $$E(X)=2,V(X)=2,\sigma (X)=\sqrt{2}\approx 1,41.$$ Et $$P(X=0)={\mathrm{e}}^{-2}\frac{2^0}{0!}={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,1353.$$

Contrôle. Avec $\lambda =2$ : $P(X=1)=2{\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,2707$ et $P(X=2)=\frac{4}{2}{\mathrm{e}}^{-2}=2{\mathrm{e}}^{-2}$ : les deux sont bien égales.

Remarque. Ce sont les deux valeurs les plus probables : pour $\lambda =2$, entier, la loi de Poisson a deux modes, $1$ et $2$. C'est exactement ce que traduit l'énoncé.