Les lois marginales d'un tableau

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités sur un ensemble quelconque · Couples et indépendance

Énoncé

La loi du couple $(X, Y)$ , avec $X (Ω) = {0, 1}$ et $Y (Ω) = {1, 2}$ , est donnée par $P ([X = 0] \cap [Y = 1]) = 0, 2, P ([X = 0] \cap [Y = 2]) = 0, 3,$ $P ([X = 1] \cap [Y = 1]) = 0, 1, P ([X = 1] \cap [Y = 2]) = 0, 4.$ Déterminer les lois marginales de $X$ et de $Y$ , puis $E (X)$ et $E (Y)$ .

Corrigé

Ce qu'on montre. Que chaque loi marginale s'obtient en sommant la loi conjointe sur les valeurs de l'autre variable.

Contrôle préalable. $0, 2 + 0, 3 + 0, 1 + 0, 4 = 1$ : la loi conjointe est bien définie.

Loi marginale de $X$ . On somme sur $y \in {1, 2}$ : $P (X = 0) = 0, 2 + 0, 3 = 0, 5, P (X = 1) = 0, 1 + 0, 4 = 0, 5.$ Leur somme vaut $1$ .

Loi marginale de $Y$ . On somme sur $x \in {0, 1}$ : $P (Y = 1) = 0, 2 + 0, 1 = 0, 3, P (Y = 2) = 0, 3 + 0, 4 = 0, 7.$ Leur somme vaut $1$ .

Les espérances. $E (X) = 0 \times 0, 5 + 1 \times 0, 5 = 0, 5, E (Y) = 1 \times 0, 3 + 2 \times 0, 7 = 1, 7.$

Remarque. $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $0, 5$ , ce que confirme $E (X) = 0, 5$ . Quant à $Y$ , son espérance $1, 7$ est bien comprise entre ses deux valeurs $1$ et $2$ , plus près de $2$ puisque cette valeur est la plus probable.

Point délicat. Les marges ne suffisent pas à reconstituer le tableau : plusieurs lois conjointes différentes ont ces mêmes marges. L'information contenue dans la loi conjointe est strictement plus riche.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.