Markov, Tchebychev, et la vérité

Rappelons $E(X)=V(X)=3$.

Markov. $X$ étant positive,

$$P(X\ge 10)\le \frac{E(X)}{10}=\frac{3}{10}=0,300.$$

Bienaymé-Tchebychev. $X\ge 10$ entraîne $|X-3|\ge 7$, donc

$$P(X\ge 10)\le P(|X-3|\ge 7)\le \frac{V(X)}{7^2}=\frac{3}{49}\approx 0,0612.$$

La valeur exacte : $P(X\ge 10)=1-{\sum }_{k=0}^9{\mathrm{e}}^{-3}\frac{3^k}{k!}\approx 0,00110$.

Le constat. Markov surestime d'un facteur $270$, Bienaymé-Tchebychev d'un facteur $56$. Les deux bornes sont correctes mais très lâches.

Pourquoi, et à quoi elles servent quand même. Ces inégalités n'utilisent que l'espérance (Markov) ou l'espérance et la variance (Tchebychev) : elles valent pour toutes les lois ayant ces caractéristiques, y compris les plus étalées. Elles paient cette généralité par leur imprécision. Leur intérêt n'est pas de chiffrer une probabilité mais de démontrer — c'est Tchebychev qui donne la loi faible des grands nombres, en trois lignes et sans rien savoir de la loi sous-jacente.