Mêmes marges, dépendances différentes

Prenons pour marges deux lois uniformes sur $\{0,1\}$, c'est-à-dire $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$, et de même pour $Y$.

Premier couple, indépendant : la loi jointe est le produit des marges,

$$\begin{array}{ccc}P(X=i,Y=j)& j=0& j=1\\ i=0& 1/4& 1/4\\ i=1& 1/4& 1/4\end{array}$$

Second couple, dépendant : posons $Y=X$, c'est-à-dire

$$\begin{array}{ccc}P(X=i,Y=j)& j=0& j=1\\ i=0& 1/2& 0\\ i=1& 0& 1/2\end{array}$$

Les marges sont identiques dans les deux cas : chaque ligne et chaque colonne somme à $\frac{1}{2}$. Mais dans le second,

$$P(X=0,Y=1)=0\ne \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=P(X=0)P(Y=1):$$

les variables ne sont pas indépendantes — elles sont même parfaitement corrélées.

Ce que l'exemple démontre. Les lois marginales ne déterminent pas la loi du couple. Connaître séparément le comportement de $X$ et celui de $Y$ ne dit rien de leur lien. C'est pourquoi l'indépendance est une hypothèse à part entière, qu'aucun calcul sur les marges ne peut établir — et pourquoi $E(XY)=E(X)E(Y)$ ne vaut pas en général.