Quand $E(XY)=E(X)E(Y)$ sans indépendance

Ce qu'on montre. Que l'égalité des espérances est une conséquence de l'indépendance, mais pas un critère : elle peut être vraie pour un couple aussi dépendant que possible.

Les lois. Par hypothèse $P(X=-1)=P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{3}$. La variable $Y=X^2$ prend les valeurs $0$ et $1$, avec $$P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{3},P(Y=1)=P(X=-1)+P(X=1)=\frac{2}{3}.$$

Les espérances. $$E(X)=(-1)\frac{1}{3}+0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{1}{3}=0,E(Y)=0\times \frac{1}{3}+1\times \frac{2}{3}=\frac{2}{3}.$$ Donc $E(X)E(Y)=0$.

L'espérance du produit. Ici $XY=X\cdot X^2=X^3$. Or $X^3$ prend les valeurs $-1$, $0$, $1$ avec les mêmes probabilités $\frac{1}{3}$ que $X$ (le cube conserve chacune des trois valeurs). Par transfert, $$E(XY)=E\left(X^3\right)=(-1)\frac{1}{3}+0+1\times \frac{1}{3}=0.$$ Donc $E(XY)=0=E(X)E(Y)$ : l'égalité est vérifiée.

Et pourtant elles ne sont pas indépendantes. Testons une case : $$P([X=0]\cap [Y=0])=P(X=0)=\frac{1}{3},$$ puisque $[X=0]$ entraîne $[Y=0]$. Or $$P(X=0)P(Y=0)=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}\ne \frac{1}{3}.$$ Les deux variables ne sont donc pas indépendantes — et pour cause : $Y$ est une fonction de $X$, connaître $X$ détermine $Y$ complètement.

Conclusion. Le théorème du cours dit : si $X$ et $Y$ sont indépendantes et admettent une espérance, alors $E(XY)=E(X)E(Y)$. Cet exemple montre que la réciproque est fausse : l'égalité peut avoir lieu sans indépendance. On ne peut donc jamais démontrer une indépendance en vérifiant cette égalité ; l'indépendance se démontre sur la loi conjointe, case par case.

Pourquoi cela marche ici. La loi de $X$ est symétrique par rapport à $0$, ce qui annule toutes les espérances de puissances impaires. La dépendance entre $X$ et $Y$ est entièrement de nature quadratique, et l'égalité des espérances, qui ne teste qu'un lien linéaire, ne la voit pas.