Somme de deux Poisson

La loi de la somme. Pour $n\ge 0$, en conditionnant sur la valeur de $X$ et en utilisant l'indépendance :

$$P(X+Y=n)=\sum _{k=0}^{n}P(X=k)P(Y=n-k)=\sum _{k=0}^n{\mathrm{e}}^{-2}\frac{2^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-3}\frac{3^{n-k}}{(n-k)!}.$$

En factorisant $\frac{{\mathrm{e}}^{-5}}{n!}$ et en reconnaissant un binôme de Newton :

$$P(X+Y=n)=\frac{{\mathrm{e}}^{-5}}{n!}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)2^k{3}^{n-k}={\mathrm{e}}^{-5}\frac{(2+3{)}^n}{n!}={\mathrm{e}}^{-5}\frac{5^n}{n!}.$$

Donc

$$X+Y\hookrightarrow \mathcal{P}(5).$$

Application :

$$P(X+Y=4)={\mathrm{e}}^{-5}\frac{5^4}{4!}=\frac{625}{24}{\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,1755.$$

La stabilité de la famille de Poisson est remarquable : la somme de deux Poisson indépendantes est encore une Poisson, de paramètre la somme des paramètres. C'est cohérent avec l'interprétation « nombre d'événements rares sur une durée » — réunir deux sources indépendantes revient à additionner leurs intensités. L'indépendance est indispensable : sans elle, la conclusion tombe.