Un couple donné par son tableau

Ce qu'on montre. Que les marges sont des sommes du tableau, que l'indépendance se réfute par une seule case, et que $E(XY)\ne E(X)E(Y)$ le confirme.

Contrôle préalable. La somme des six probabilités vaut $$\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{1+1+2+1+2+1}{8}=1.$$ La loi conjointe est donc bien définie.

Loi marginale de $X$. On somme sur les valeurs de $Y$ : $$P(X=0)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},P(X=1)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{1}{2}.$$

Loi marginale de $Y$. On somme sur les valeurs de $X$ : $$P(Y=-1)=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4},P(Y=0)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{3}{8},P(Y=1)=\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.$$ Contrôle : $\frac{1}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=1$.

Indépendance : non. Il suffit d'une case en défaut. Prenons $x=0$, $y=0$ : $$P(X=0)P(Y=0)=\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}=\frac{3}{16},\text{alors que}P([X=0]\cap [Y=0])=\frac{1}{8}=\frac{2}{16}.$$ Ces deux nombres diffèrent : $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes. (Il aurait été inutile de vérifier les cinq autres cases : une seule suffit à réfuter.)

Les espérances. $$E(X)=0\times \frac{1}{2}+1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2},E(Y)=(-1)\frac{1}{4}+0\times \frac{3}{8}+1\times \frac{3}{8}=\frac{1}{8}.$$

L'espérance du produit. Par le théorème de transfert pour un couple, appliqué à $g(x,y)=xy$ : $$E(XY)=\sum _{(x,y)}xyP([X=x]\cap [Y=y]).$$ Les trois termes avec $x=0$ sont nuls, ainsi que celui avec $y=0$. Il reste $$E(XY)=(1)(-1)\times \frac{1}{8}+(1)(1)\times \frac{1}{8}=-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=0.$$

La comparaison. $E(X)E(Y)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}=\frac{1}{16}\ne 0=E(XY)$. L'égalité $E(XY)=E(X)E(Y)$ est en défaut, ce qui confirme, par contraposée du théorème du cours, que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Point délicat. Les marges seules n'auraient rien décidé : elles sont compatibles avec une infinité de tableaux, dont un tableau à variables indépendantes. C'est la loi conjointe qui porte l'information.