Un événement négligeable qui n'est pas impossible

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités sur un ensemble quelconque · Espace probabilisé et fonction de répartition

Énoncé

On lance indéfiniment une pièce équilibrée. En notant $A_{n}$ l'événement « les $n$ premiers lancers donnent tous pile », calculer $P (A_{n})$ , puis la probabilité de n'obtenir que des piles.

Corrigé

La probabilité de $A_{n}$ . Les lancers sont indépendants et chacun donne pile avec probabilité $\frac{1}{2}$ , donc

$P (A_{n}) = (\frac{1}{2})^{n} .$

La suite $(A_{n})$ est décroissante pour l'inclusion : donner pile aux $n + 1$ premiers lancers impose de l'avoir donné aux $n$ premiers, donc $A_{n + 1} \subset A_{n}$ . L'événement « on n'obtient que des piles » est exactement $A = ⋂_{n \geq 1} A_{n}$ .

Le théorème de la limite monotone s'applique aux suites décroissantes :

$P (A) = P (n \geq 1 ⋂ A_{n}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) = n \to + \infty lim \frac{1}{2 ^{n}} = 0.$

Le point délicat. $A$ est négligeable, et pourtant il n'est pas vide : la suite « pile, pile, pile, … » est une issue parfaitement décrite de l'expérience. Probabilité nulle et impossibilité sont deux choses différentes — distinction qu'un univers fini ne permettait pas de faire, puisque toute issue y a une probabilité strictement positive.

Une conséquence immédiate. L'événement contraire, « obtenir au moins une fois face », est presque sûr : sa probabilité vaut $1$ sans qu'il soit certain.

Le point à retenir. C'est le passage au dénombrable qui fabrique ces objets : sans $σ$ -additivité, on ne pourrait même pas écrire $⋂_{n \geq 1} A_{n}$ . La limite monotone est l'outil qui fait descendre une probabilité le long d'une suite d'événements emboîtés.

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