Un système complet dénombrable

Ce qu'on montre. Que la formule des probabilités totales s'applique à un système complet dénombrable, et que la somme obtenue est une série géométrique.

Le système complet. Par construction, $N$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ : $N(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P(N=n)=p(1-p{)}^{n-1}$. Les événements $[N=n]$, pour $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, sont deux à deux incompatibles et de probabilités de somme $1$ : ils forment un système complet dénombrable d'événements.

Les probabilités conditionnelles. Sachant $[N=n]$, on effectue $n$ lancers de dé indépendants, chacun évitant le $6$ avec la probabilité $\frac{5}{6}$. Donc $$P_{[N=n]}(S)={\left(\frac{5}{6}\right)}^n.$$

La formule des probabilités totales. Le théorème du cours, étendu aux systèmes complets dénombrables, donne $$P(S)=\sum _{n=1}^{+\infty }{P}_{[N=n]}(S)P(N=n)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n}p(1-p{)}^{n-1}.$$

Le calcul de la série. Posons $q=1-p$. En sortant les facteurs indépendants de $n$ et en posant $j=n-1$ : $$P(S)=\frac{5p}{6}\sum _{n=1}^{+\infty }{\left(\frac{5q}{6}\right)}^{n-1}=\frac{5p}{6}\sum _{j=0}^{+\infty }{\left(\frac{5q}{6}\right)}^j.$$ Comme $0\le q<1$, on a $0\le \frac{5q}{6}<\frac{5}{6}<1$ : la série géométrique converge et vaut $\frac{1}{1-\frac{5q}{6}}=\frac{6}{6-5q}$. Donc $$P(S)=\frac{5p}{6}\cdot \frac{6}{6-5q}=\frac{5p}{6-5(1-p)}=\frac{5p}{1+5p}.$$

Vérifications.

• Pour $p=1$ (pièce donnant pile à coup sûr), on a $N=1$ : un seul lancer de dé, donc $P(S)=\frac{5}{6}$. La formule donne $\frac{5}{1+5}=\frac{5}{6}$ : conforme.
• Quand $p\to 0^{+}$, $\frac{5p}{1+5p}\to 0$ : la pièce donne pile très tard, on lance donc le dé un très grand nombre de fois, et un $6$ finit presque sûrement par apparaître. Conforme à l'intuition.
• Pour $p=\frac{1}{2}$ : $P(S)=\frac{5/2}{1+5/2}=\frac{5}{7}\approx 0,714$, valeur comprise entre $0$ et $\frac{5}{6}$, comme attendu.

Point délicat. La formule des probabilités totales exige que la somme des $P(N=n)$ vaille $1$. C'est ici acquis parce que $N$ suit une loi géométrique : la pièce finit presque sûrement par donner pile. Si l'expérience pouvait « ne jamais s'arrêter » avec une probabilité non nulle, il faudrait ajouter cet événement au système, et $P(S)$ ne serait pas donné par cette seule série.