Une constante déterminée par la somme des probabilités

Ce qu'on montre. Que la constante se règle par la condition « la somme des probabilités vaut $1$ », et qu'on reconnaît alors une loi du cours.

La condition de normalisation. Les événements $[X=k]$, $k\ge 1$, forment un système complet, donc $$\sum _{k=1}^{+\infty }P(X=k)=1⟺c\sum _{k=1}^{+\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=1.$$ La série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ donne $$\sum _{k=1}^{+\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^k=\frac{1}{2}\times \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=1.$$ Donc $c\times 1=1$, c'est-à-dire $$c=1.$$ On vérifie au passage que $P(X=k)=\frac{1}{2^k}\ge 0$ pour tout $k$ : la loi est bien définie.

Reconnaissance. Écrivons $$P(X=k)=\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1},$$ qui est la forme $p(1-p{)}^{k-1}$ avec $p=\frac{1}{2}$. Donc $$X\hookrightarrow \mathcal{G}\left(\frac{1}{2}\right).$$

L'espérance. Le cours donne directement $E(X)=\frac{1}{p}=2$.

Vérification par la série. Calculons-la sans invoquer la loi. Avec $q=\frac{1}{2}$ et la série de référence ${\sum }_{k\ge 1}k{q}^{k-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$ : $$E(X)=\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{+\infty }k{\left(\frac{1}{2}\right)}^{k-1}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{1}{2}\times 4=2.$$ Les deux voies concordent.

Interprétation. $X$ est le rang du premier pile pour une pièce équilibrée : il faut en moyenne deux lancers, ce qui est conforme à l'intuition.