Une espérance sans variance

La constante existe. La série ${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k^3}$ est une série de Riemann d'exposant $3>1$ : elle converge, et sa somme $S$ est strictement positive. En posant $c=\frac{1}{S}$, la somme des probabilités vaut $1$ et la loi est bien définie.

L'espérance existe. Elle existe si et seulement si la série ${\sum }_{k\ge 1}kP(X=k)$ converge absolument. Tous les termes sont positifs, et

$$kP(X=k)=\frac{ck}{k^3}=\frac{c}{k^2},$$

série de Riemann d'exposant $2>1$ : elle converge. Donc $X$ admet une espérance, égale à $c{\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k^2}$.

Le moment d'ordre $2$, lui, n'existe pas. Par le théorème de transfert appliqué à $g(x)=x^2$, la variable $X^2$ admet une espérance si et seulement si $\sum k^{2}P(X=k)$ converge. Or

$$k^{2}P(X=k)=\frac{c}{k},$$

et la série harmonique diverge. Donc $E(X^2)$ n'existe pas, et $X$ n'a pas de variance.

Le point délicat. La formule de Kœnig-Huygens $V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2$ ne se lit qu'une fois l'existence de $E(X^2)$ acquise. L'écrire ici produirait un nombre à partir d'une quantité qui n'existe pas — l'erreur est silencieuse, puisque le calcul formel, lui, aboutit.

Le point à retenir. Trois exposants, trois régimes : avec $\frac{c}{k^2}$ il n'y a pas d'espérance, avec $\frac{c}{k^3}$ il y a une espérance sans variance, avec $\frac{c}{k^4}$ il y a les deux. Chaque moment réclamé coûte une puissance de $k$, donc un exposant de Riemann.