Une loi de Poisson conditionnée par sa somme

Le conditionnement est licite. Par stabilité de la loi de Poisson — les deux variables sont indépendantes — $X+Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda +\mu )$, donc

$$P(X+Y=n)={\mathrm{e}}^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu {)}^n}{n!}>0.$$

L'intersection se réécrit. Pour $0\le k\le n$, l'événement $[X=k]\cap [X+Y=n]$ est exactement $[X=k]\cap [Y=n-k]$, et l'indépendance factorise :

$$P([X=k]\cap [Y=n-k])={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\mu }\frac{{\mu }^{n-k}}{(n-k)!}.$$

Pour $k>n$ l'intersection est vide : la probabilité conditionnelle est nulle.

On divise. Les exponentielles se simplifient, et le facteur $\frac{n!}{k!(n-k)!}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ apparaît :

$$P_{[X+Y=n]}(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right)}^k{\left(\frac{\mu }{\lambda +\mu }\right)}^{n-k}.$$

Conditionnellement à $[X+Y=n]$, $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\left(n,\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right)$.

Ce que le résultat dit. Le total étant fixé à $n$, tout se passe comme si chacune des $n$ unités était allée du côté de $X$ avec la probabilité $\frac{\lambda }{\lambda +\mu }$, indépendamment des autres. Les valeurs de $\lambda$ et $\mu$ ont disparu : seule leur proportion subsiste.

Le point à retenir. Une loi conditionnelle se calcule toujours de la même façon — probabilité de l'intersection, divisée par celle du conditionnement. Ici les deux se calculent, l'une par indépendance, l'autre par stabilité.