Une loi de Poisson

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités sur un ensemble quelconque · Lois géométrique et de Poisson

Énoncé

$X ↪ P (3)$ : calculer $P (X = 0)$ , $P (X \geq 2)$ .

Corrigé

Probabilité de zéro :

$P (X = 0) = e^{- 3} \frac{3 ^{0}}{0 !} = e^{- 3} \approx 0, 0498.$

Au moins deux, par l'événement contraire :

$P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) = 1 - e^{- 3} - 3 e^{- 3} = 1 - 4 e^{- 3} \approx 0, 8009.$

Le réflexe : dès qu'un énoncé dit « au moins $k$ » avec $k$ petit, on passe au complémentaire — il y a $k$ termes à calculer d'un côté, une infinité de l'autre.

Contrôle d'ordre de grandeur : l'espérance vaut $3$ , donc obtenir au moins $2$ doit être très probable. $80 %$ est cohérent.

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