Une loi de Poisson qui en cache une autre

Ce qu'on montre. Que la loi conditionnelle de $X$ sachant $N$ est binomiale, et que la formule des probabilités totales, appliquée au système complet dénombrable $([N=n]{)}_{n\in \mathbb{N}}$, fait réapparaître une loi de Poisson.

La loi conditionnelle. Sachant $[N=n]$, on a $n$ œufs, chacun éclosant avec la probabilité $p$, indépendamment : le nombre d'éclosions suit $\mathcal{B}(n,p)$. Donc, pour $0\le k\le n$, $$P_{[N=n]}(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k},$$ et $P_{[N=n]}(X=k)=0$ si $k>n$ — on ne peut faire éclore plus d'œufs qu'il n'y en a.

La formule des probabilités totales. Les $[N=n]$, $n\in \mathbb{N}$, forment un système complet dénombrable. Pour $k\in \mathbb{N}$ fixé, seuls les $n\ge k$ contribuent : $$P(X=k)=\sum _{n=k}^{+\infty }{P}_{[N=n]}(X=k)P(N=n)=\sum _{n=k}^{+\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}{\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}.$$

La simplification. Utilisons $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{1}{n!}=\frac{1}{k!(n-k)!}$ et découpons ${\lambda }^n={\lambda }^k{\lambda }^{n-k}$ : $$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}\sum _{n=k}^{+\infty }\frac{(\lambda (1-p){)}^{n-k}}{(n-k)!}.$$ Le changement d'indice $j=n-k$ fait apparaître la série exponentielle : $$\sum _{j=0}^{+\infty }\frac{(\lambda (1-p){)}^j}{j!}={\mathrm{e}}^{\lambda (1-p)}.$$

Conclusion. $$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{(\lambda p{)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{\lambda (1-p)}={\mathrm{e}}^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^k}{k!},$$ c'est-à-dire $$X\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda p),\text{donc}E(X)=\lambda p.$$

Contrôles.

• La somme des probabilités vaut $1$, puisqu'on reconnaît une loi de Poisson de paramètre $\lambda p>0$.
• $E(X)=\lambda p$ est exactement ce qu'annonce l'intuition : en moyenne $\lambda$ œufs, dont une fraction $p$ éclôt.
• Pour $p=1$, on retrouve $X=N\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$ ; quand $p\to 0^{+}$, le paramètre tend vers $0$ et $X$ vaut $0$ presque toujours.

Point délicat. La somme démarre à $n=k$ et non à $n=0$ : les termes $n<k$ sont nuls, et l'oublier conduirait à des factorielles d'entiers négatifs. C'est ce décalage qui, après changement d'indice, produit la série exponentielle complète.