Une loi géométrique

Probabilité ponctuelle : $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$, donc

$$P(X=3)=0,8^2\times 0,2=0,128.$$

Queue : $[X>5]$ signifie « les cinq premières épreuves ont échoué », donc

$$P(X>5)=0,8^5=0,32768\approx 33\%.$$

Espérance : $E(X)=\frac{1}{p}=5$.

Variance et écart-type : $V(X)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{0,8}{0,04}=20$, donc $\sigma (X)=\sqrt{20}\approx 4,47$.

Lecture. L'écart-type est presque aussi grand que l'espérance : la loi géométrique est très étalée. Attendre « en moyenne $5$ essais » ne dit pas grand-chose — une fois sur trois il en faut plus de $5$, et une fois sur dix plus de $10$.