Une loi lue sur sa fonction de répartition

Ce qu'on montre. Que les sauts d'une fonction de répartition en escalier sont exactement les probabilités ponctuelles, et que tout le reste se calcule ensuite.

Les valeurs prises. $F$ est constante par morceaux et ne saute qu'en $1$, $2$ et $5$. Comme $P(X=a)=F(a)-{\lim }_{x\to a^{-}}F(x)$ (la hauteur du saut, $F$ étant continue à droite), on a $P(X=a)=0$ partout ailleurs, donc $$X(\Omega )=\{1,2,5\}.$$

La loi. Les hauteurs de saut valent $$P(X=1)=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4},P(X=2)=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2},P(X=5)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}.$$ Contrôle : la somme vaut $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$, comme il se doit.

Espérance. $$E(X)=1\times \frac{1}{4}+2\times \frac{1}{2}+5\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}+1+\frac{5}{4}=\frac{5}{2}=2,5.$$

Variance. Par le théorème de transfert appliqué à $x\mapsto x^2$ : $$E\left(X^2\right)=1\times \frac{1}{4}+4\times \frac{1}{2}+25\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}+2+\frac{25}{4}=\frac{34}{4}=8,5,$$ puis, par la formule de Kœnig-Huygens, $$V(X)=E\left(X^2\right)-E(X{)}^2=8,5-6,25=2,25,\sigma (X)=1,5.$$

Les deux probabilités demandées. $$P(X\ge 2)=1-P(X<2)=1-P(X\le 1)=1-F(1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4},$$ la deuxième égalité venant de ce qu'aucune valeur ne se trouve strictement entre $1$ et $2$. $$P(1<X\le 5)=F(5)-F(1)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.$$

Point délicat. $P(X\ge 2)$ n'est pas $1-F(2)$ : $F(2)=P(X\le 2)$ inclut la valeur $2$, qu'il faut au contraire garder. La règle sûre est $P(X\ge a)=1-P(X<a)$, et l'on calcule $P(X<a)$ à l'aide de la valeur de $F$ juste avant $a$.