Une loi sans espérance

La constante. La somme des probabilités vaut $1$. Or $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, et la somme télescope :

$$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k(k+1)}=\underset{N\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1.$$

Donc $c=1$, et la loi est bien définie.

Pas d'espérance. L'espérance existe si et seulement si $\sum kP(X=k)$ converge absolument. Ici tous les termes sont positifs et

$$kP(X=k)=\frac{k}{k(k+1)}=\frac{1}{k+1},$$

donc la série est la série harmonique décalée : elle diverge. $X$ n'admet pas d'espérance.

Ce que cela veut dire concrètement. La loi est parfaitement légitime — on peut simuler $X$, tracer son histogramme. Mais la moyenne empirique de $n$ tirages ne se stabilise pas : elle continue de croître avec $n$, tirée par des valeurs rares et énormes. La loi des grands nombres ne s'applique pas, faute d'espérance.

Et ce n'est pas une curiosité d'école : c'est le modèle des phénomènes à queue lourde — tailles de villes, revenus extrêmes, audiences — où résumer par une moyenne n'a aucun sens.