Ce que la dérivation fait à une multiplicité

La multiplicité baisse d'exactement un. Par définition de l'ordre $k$, on peut écrire $P=(x-a{)}^{k}Q$ avec $Q(a)\ne 0$. En dérivant ce produit : $$P^{\prime }=k(x-a{)}^{k-1}Q+(x-a{)}^k{Q}^{\prime }=(x-a{)}^{k-1}(kQ+(x-a)Q^{\prime }).$$ Posons $R=kQ+(x-a)Q^{\prime }$. Alors $(x-a{)}^{k-1}$ divise $P^{\prime }$, et $$R(a)=kQ(a)+0=kQ(a)\ne 0,$$ puisque $k\ge 1$ et $Q(a)\ne 0$. Donc $a$ n'est pas racine de $R$, et $(x-a{)}^k$ ne divise pas $P^{\prime }$. Pour $k\ge 2$, cela dit exactement que $a$ est racine de $P^{\prime }$ d'ordre $k-1$ ; pour $k=1$, cela dit que $P^{\prime }(a)=R(a)\ne 0$, donc que $a$ n'est pas racine de $P^{\prime }$.

L'équivalence. Sens direct. Si $P$ a une racine multiple $a$, son ordre $k$ vérifie $k\ge 2$, donc $k-1\ge 1$ et $P^{\prime }(a)=0$ d'après ce qui précède. Comme $P(a)=0$ aussi, $a$ est racine commune à $P$ et $P^{\prime }$.

Réciproque. Supposons $P(a)=P^{\prime }(a)=0$. Alors $a$ est racine de $P$ ; notons $k\ge 1$ son ordre. Si l'on avait $k=1$, la démonstration ci-dessus donnerait $P^{\prime }(a)\ne 0$, ce qui contredit l'hypothèse. Donc $k\ge 2$ : la racine $a$ est multiple.

Le point à retenir. Dériver retire une unité à chaque multiplicité, jamais plus, jamais moins — et c'est le facteur $k$ apparu devant $Q(a)$ qui l'interdit de descendre plus bas. La conséquence est un test : pour savoir si un polynôme a une racine multiple, on n'a pas à calculer ses racines, il suffit de chercher ce que $P$ et $P^{\prime }$ ont en commun.