Changer de point avec Taylor

Les dérivées en $1$. On calcule successivement : $$P(1)=1-4+6-4+3=2,$$ $$P^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x-4,P^{\prime }(1)=4-12+12-4=0,$$ $$P^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+12,P^{\prime \prime }(1)=12-24+12=0,$$ $$P^{\prime \prime \prime }(x)=24x-24,P^{\prime \prime \prime }(1)=0,P^{(4)}(x)=24.$$

La formule de Taylor. $P$ est de degré $4$, la somme s'arrête donc à $k=4$ et l'égalité est exacte : $$P(x)=\sum _{k=0}^4\frac{P^{(k)}(1)}{k!}(x-1{)}^k=2+\frac{24}{4!}(x-1{)}^4=2+(x-1{)}^4.$$

La minoration. $(x-1{)}^4\ge 0$ pour tout réel $x$, car c'est un carré élevé au carré. Donc $P(x)\ge 2$. L'égalité a lieu si et seulement si $(x-1{)}^4=0$, c'est-à-dire $x=1$ : le minimum vaut $2$ et il est atteint au seul point $1$.

Contrôle. En développant, $2+(x-1{)}^4=2+x^4-4x^3+6x^2-4x+1$, qui est bien $P$. Au passage, on lit que $1$ est racine de $P-2$ d'ordre exactement $4$, puisque les trois premières dérivées y sont nulles et la quatrième non.

Le point à retenir. La formule de Taylor pour un polynôme n'approche rien : c'est un changement de variable exact, qui réécrit $P$ autour du point de son choix. Bien choisi, ce point fait apparaître une forme — ici un carré parfait à un décalage près — que l'écriture développée dissimulait complètement.