Degré d'un produit, degré d'une somme

Le produit. $\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}P+\mathrm{deg}Q=3+3=6$, et son coefficient dominant vaut $1\times (-1)=-1$. Cette règle est toujours vraie sur $\mathbb{R}$ : le produit des coefficients dominants ne peut pas s'annuler.

La somme. Ici les termes de degré $3$ se compensent :

$$P+Q=(x^3-x)+(-x^3+2)=-x+2,\mathrm{deg}(P+Q)=1.$$

Ce n'est donc pas $\max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)=3$.

La règle exacte est $\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}P,\mathrm{deg}Q)$, avec égalité sauf si les deux degrés sont égaux et les coefficients dominants opposés. C'est précisément le cas ici. L'inégalité, elle, ne prend jamais en défaut.