Deux factorisations dans les réels

Premier polynôme : une inconnue auxiliaire. Seuls des exposants pairs interviennent ; posons $t=x^2$. Le discriminant de $t^2+t-2$ vaut $9$, ses racines sont $1$ et $-2$, donc $t^2+t-2=(t-1)(t+2)$. En revenant à $x$ : $$x^4+x^2-2=(x^2-1)(x^2+2)=(x-1)(x+1)(x^2+2).$$ Le facteur $x^2+2$ a un discriminant $-8<0$ : il est sans racine réelle, donc irréductible dans $\mathbb{R}[x]$. La factorisation est terminée. Contrôle des degrés : $1+1+2=4$.

Second polynôme : compléter un carré. Aucune racine évidente — et pour cause, $x^4+4\ge 4>0$ n'a aucune racine réelle. On ajoute et retranche le terme qui manque pour former un carré : $$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2{)}^2-(2x{)}^2,$$ et l'identité $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ donne $$x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2).$$ Chacun des deux facteurs a pour discriminant $4-8=-4<0$ : tous deux sont irréductibles, et l'on obtient bien ce qu'annonce le théorème — un produit de facteurs de degré $2$ sans racine réelle, et aucun facteur $(x-a)$. Contrôle : dans le produit, le coefficient de $x^2$ vaut $2+2-4=0$, celui de $x$ vaut $4-4=0$, et le terme constant $4$.

Le point à retenir. La méthode « racine évidente, puis division » échoue nécessairement sur un polynôme sans racine réelle. Deux outils prennent alors le relais : le changement d'inconnue $t=x^2$ quand seuls les exposants pairs figurent, et la mise sous forme $A^2-B^2$. Le contrôle des degrés ferme la démonstration.