Diviser par $x-2$

Ce qu'on montre. Le couple $(Q,R)$ tel que $A=BQ+R$ avec $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B=1$, c'est-à-dire $R$ constant.

La division. On élimine le terme de plus haut degré à chaque étape.

• $x^3-2x^2=x^2(x-2)$. Le quotient commence donc par $x^2$, et il reste $A-x^2(x-2)=3$.
• Le reste $3$ est de degré $0<1$ : la division s'arrête.

D'où $$x^3-2x^2+3=(x-2)x^2+3,Q=x^2,R=3.$$

Vérification. $(x-2)x^2+3=x^3-2x^2+3$, qui est bien $A$.

Un second contrôle, plus rapide. Le reste de la division par $x-a$ est un polynôme constant $R$, et en évaluant l'égalité $A=(x-a)Q+R$ en $x=a$ on trouve $R=A(a)$. Ici $$A(2)=8-8+3=3,$$ ce qui confirme $R=3$ sans refaire la division.

Point délicat. L'égalité $A=BQ+R$ est une identité entre polynômes : elle doit être vraie pour tout $x$, pas seulement pour une valeur. La condition $\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}B$ est ce qui rend le couple $(Q,R)$ unique ; sans elle, on pourrait par exemple écrire $A=(x-2)(x^2-1)+(x-2+3)$, ce qui ne serait plus une division euclidienne.

Conséquence. Comme $R=3\ne 0$, le polynôme $x-2$ ne divise pas $A$, autrement dit $2$ n'est pas racine de $A$.