Écrire un polynôme selon les puissances de $x-1$

Ce qu'on montre. Les trois coefficients $a$, $b$, $c$, obtenus par les dérivées en $1$.

Les dérivées en $1$. $$P(x)=x^2+2x,P^{\prime }(x)=2x+2,P^{\prime \prime }(x)=2.$$ Donc $$P(1)=1+2=3,P^{\prime }(1)=4,P^{\prime \prime }(1)=2.$$

La formule de Taylor au point $1$. Pour un polynôme de degré $\le 2$ : $$P(x)=P(1)+\frac{P^{\prime }(1)}{1!}(x-1)+\frac{P^{\prime \prime }(1)}{2!}(x-1{)}^2=3+4(x-1)+(x-1{)}^2.$$ Ainsi $a=3$, $b=4$, $c=1$.

Vérification par développement. $$3+4(x-1)+(x-1{)}^2=3+4x-4+x^2-2x+1=x^2+2x.$$ C'est bien $P$.

Une autre voie : le changement de variable. En posant $h=x-1$, donc $x=h+1$ : $$P(x)=(h+1{)}^2+2(h+1)=h^2+2h+1+2h+2=h^2+4h+3,$$ ce qui redonne les mêmes coefficients. Les deux méthodes se contrôlent l'une l'autre.

À quoi cela sert. Cette écriture rend le comportement au voisinage de $1$ immédiatement lisible : le terme constant $3$ est la valeur, le coefficient $4$ la pente de la tangente, et $c=1>0$ indique une courbure vers le haut. Elle montre aussi que $1$ n'est pas racine de $P$, puisque $a=P(1)=3\ne 0$.