Fabriquer une racine double

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 1re année), chapitre 2 — Polynômes · Multiplicité et formule de Taylor

Énoncé

Déterminer $a$ et $b$ pour que $x^{3} + a x + b$ admette $2$ comme racine double.

Corrigé

Posons $P = x^{3} + a x + b$ . Dire que $2$ est racine au moins double, c'est écrire $P (2) = 0$ et $P^{'} (2) = 0$ :

${8 + 2 a + b = 0 12 + a = 0 ⟺ a = - 12, b = - 8 - 2 a = - 8 + 24 = 16.$

Donc $P = x^{3} - 12 x + 16$ .

Vérifions la multiplicité exacte. $P^{''} (x) = 6 x$ et $P^{''} (2) = 12 \neq = 0$ : la racine est exactement double, pas triple.

Factorisation. $(x - 2)^{2}$ divise $P$ , de quotient de degré $1$ :

$P = (x - 2)^{2} (x + 4),$

que le développement confirme : $(x^{2} - 4 x + 4) (x + 4) = x^{3} - 12 x + 16$ . La troisième racine est $- 4$ , et l'on vérifie que la somme des racines $2 + 2 - 4 = 0$ correspond bien au coefficient nul de $x^{2}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.