Fabriquer une racine double

Posons $P=x^3+ax+b$. Dire que $2$ est racine au moins double, c'est écrire $P(2)=0$ et $P^{\prime }(2)=0$ :

$$\{\begin{array}{l}8+2a+b=0\\ 12+a=0\end{array}⟺a=-12,b=-8-2a=-8+24=16.$$

Donc $P=x^3-12x+16$.

Vérifions la multiplicité exacte. $P^{\prime \prime }(x)=6x$ et $P^{\prime \prime }(2)=12\ne 0$ : la racine est exactement double, pas triple.

Factorisation. $(x-2{)}^2$ divise $P$, de quotient de degré $1$ :

$$P=(x-2{)}^2(x+4),$$

que le développement confirme : $(x^2-4x+4)(x+4)=x^3-12x+16$. La troisième racine est $-4$, et l'on vérifie que la somme des racines $2+2-4=0$ correspond bien au coefficient nul de $x^2$.