Factoriser à partir d'une racine

Puisque $P(1)=1-7+6=0$, le facteur $(x-1)$ divise $P$. La division donne

$$x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6).$$

Le trinôme a pour discriminant $1+24=25$, donc pour racines $\frac{-1\pm 5}{2}$, soit $2$ et $-3$. Finalement

$$x^3-7x+6=(x-1)(x-2)(x+3).$$

Deux contrôles rapides. La somme des racines vaut $1+2-3=0$, conforme au coefficient nul de $x^2$. Leur produit vaut $1\times 2\times (-3)=-6$, conforme à $-\frac{a_0}{a_3}=-6$. Ces relations coefficients-racines ne remplacent pas le calcul, mais elles le vérifient en deux secondes.