Factoriser, puis lire le signe

Ce qu'on montre. Une factorisation complète, puis le signe qu'elle rend lisible.

La factorisation par regroupement. On groupe les termes deux à deux : $$P=x^2(x-1)-(x-1)=(x-1)(x^2-1)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1{)}^2(x+1).$$ On aurait aussi pu remarquer que $P(1)=1-1-1+1=0$, donc $(x-1)$ divise $P$, puis effectuer la division ; le regroupement va plus vite ici.

Contrôle. $(x-1{)}^2(x+1)=(x^2-2x+1)(x+1)=x^3+x^2-2x^2-2x+x+1=x^3-x^2-x+1$. C'est bien $P$.

Les racines et leurs multiplicités. $1$ est racine de multiplicité $2$, et $-1$ de multiplicité $1$. La somme des multiplicités vaut $3=\mathrm{deg}P$ : la factorisation est complète, et $P$ n'a pas d'autre racine réelle.

Le signe. Le facteur $(x-1{)}^2$ est positif ou nul pour tout réel $x$, et nul seulement en $x=1$. Le signe de $P(x)$ est donc, en dehors de $x=1$, celui de $x+1$ :

• pour $x<-1$ : $x+1<0$ et $(x-1{)}^2>0$, donc $P(x)<0$ ;
• pour $x=-1$ : $P(x)=0$ ;
• pour $-1<x<1$ : $x+1>0$ et $(x-1{)}^2>0$, donc $P(x)>0$ ;
• pour $x=1$ : $P(x)=0$ ;
• pour $x>1$ : $P(x)>0$.

Point délicat. En $x=1$, $P$ s'annule sans changer de signe : c'est la marque d'une multiplicité paire. En $x=-1$, de multiplicité impaire, le signe change. Un tableau de signes établi sans tenir compte des multiplicités donnerait ici un résultat faux.

Contrôle numérique. $P(-2)=-8-4+2+1=-9<0$ ; $P(0)=1>0$ ; $P(2)=8-4-2+1=3>0$.