Le degré d'une composée

Ce qu'on montre. L'égalité $\mathrm{deg}(P\circ Q)=pq$. L'outil est la règle $\mathrm{deg}(AB)=\mathrm{deg}A+\mathrm{deg}B$, et donc $\mathrm{deg}(A^k)=k\mathrm{deg}A$.

Mise en place. Écrivons $P={\sum }_{k=0}^p{a}_k{x}^k$ avec $a_p\ne 0$, et notons $b_q\ne 0$ le coefficient dominant de $Q$. Alors $$P\circ Q=\sum _{k=0}^p{a}_k{Q}^k.$$

Le degré de chaque terme. Pour $0\le k\le p$, $\mathrm{deg}(Q^k)=kq$, et le coefficient dominant de $Q^k$ est $b_q^k$. Comme $q\ge 1$ (car $Q$ n'est pas constant), les entiers $kq$ sont deux à deux distincts et strictement croissants avec $k$. Le terme de plus haut degré est donc celui de rang $k=p$, de degré $pq$, et aucun autre terme ne peut l'annuler.

Le coefficient de $x^{pq}$. C'est $a_p{b}_q^p$, produit de deux réels non nuls, donc non nul. Par conséquent $$\mathrm{deg}(P\circ Q)=pq.$$

Point délicat. L'argument repose sur le fait que les degrés $0,q,2q,\dots ,pq$ sont distincts : c'est ce qui interdit toute compensation entre les termes. Sans l'hypothèse $q\ge 1$, ce raisonnement tombe.

Si $Q$ est constant, égal à $c$. Alors $P\circ Q$ est le polynôme constant $P(c)$. Son degré vaut $0$ si $P(c)\ne 0$, et $-\infty$ si $c$ est racine de $P$. La formule $pq$ donnerait $0$ dans les deux cas : elle est donc fausse lorsque $c$ est racine de $P$. C'est précisément pour de tels cas que la convention $\mathrm{deg}0=-\infty$ existe.

Contrôle. $P=x^2+1$, $Q=x^3$ : $P\circ Q=x^6+1$, de degré $6=2\times 3$.