Le polynôme qui passe par $n+1$ points

Ce qu'on montre. Existence et unicité. On traite l'unicité d'abord : elle est immédiate, et elle éclaire ce que l'existence doit produire.

Unicité. Soient $P$ et $\tilde{P}$ deux polynômes de ${\mathbb{R}}_n[x]$ vérifiant les $n+1$ conditions. Posons $D=P-\tilde{P}$. Alors $D\in {\mathbb{R}}_n[x]$, donc $\mathrm{deg}D\le n$, et $$D(x_i)=y_i-y_i=0\text{pour }i=0,\dots ,n.$$ Les $x_i$ étant deux à deux distincts, $D$ possède au moins $n+1$ racines distinctes. Or un polynôme non nul de degré au plus $n$ en a au plus $n$. Donc $D=0$, c'est-à-dire $P=\tilde{P}$.

Existence : les polynômes élémentaires. Pour $i$ fixé, posons $$L_i(x)=\prod _{\begin{array}{c}j=0\\ j\ne i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$ Chaque dénominateur $x_i-x_j$ est non nul, toujours parce que les $x_j$ sont deux à deux distincts : $L_i$ est bien défini. C'est un produit de $n$ facteurs de degré $1$, donc $L_i\in {\mathbb{R}}_n[x]$ avec $\mathrm{deg}{L}_i=n$.

Ces polynômes ont la propriété-clé : $$L_i(x_i)=\prod _{j\ne i}\frac{x_i-x_j}{x_i-x_j}=1,\text{et pour }m\ne i,L_i(x_m)=0,$$ car le facteur d'indice $j=m$ vaut alors $\frac{x_m-x_m}{x_i-x_m}=0$.

Le polynôme cherché. Posons $P={\sum }_{i=0}^n{y}_i{L}_i$. C'est une combinaison linéaire d'éléments de ${\mathbb{R}}_n[x]$, donc $P\in {\mathbb{R}}_n[x]$. Et pour tout $m$ : $$P(x_m)=\sum _{i=0}^n{y}_i{L}_i(x_m)=y_m\times 1+\sum _{i\ne m}{y}_i\times 0=y_m.$$

Conclusion. Il existe un unique tel polynôme, et la formule ci-dessus le fournit explicitement.

Point délicat. L'hypothèse « deux à deux distincts » sert deux fois : pour définir les $L_i$, et pour compter les racines dans l'unicité. Sans elle l'énoncé est faux — deux valeurs différentes imposées au même point n'ont aucune solution.