Le reste de la division par $x-a$

Ce qu'on montre. Un résultat général, puis deux emplois immédiats.

Le résultat. La division euclidienne de $P$ par $x-a$ fournit un unique couple $(Q,R)$ tel que $$P=(x-a)Q+R\text{avec}\mathrm{deg}R<\mathrm{deg}(x-a)=1.$$ Un polynôme de degré strictement inférieur à $1$ est un polynôme constant (ou nul) : notons $R$ cette constante. L'égalité ci-dessus étant une identité entre polynômes, elle vaut pour toute valeur de la variable ; en particulier en $x=a$ : $$P(a)=(a-a)Q(a)+R=0+R=R.$$ Donc $R=P(a)$.

Première application. Pour $P=x^5-3x+1$ et $a=2$ : $$P(2)=32-6+1=27.$$ Le reste de la division de $P$ par $x-2$ vaut donc $27$, sans qu'aucune division n'ait été posée.

Seconde application. $x-1$ divise $P$ si et seulement si le reste de la division par $x-1$ est nul, c'est-à-dire si et seulement si $P(1)=0$. Or $$P(1)=1-3+1=-1\ne 0.$$ Donc $x-1$ ne divise pas $x^5-3x+1$, et $1$ n'est pas racine de $P$.

Ce qu'il faut retenir. « $a$ est racine de $P$ » et « $(x-a)$ divise $P$ » sont deux façons de dire la même chose. Tester une racine coûte une évaluation ; poser une division coûte bien davantage.