Le reste, sans faire la division

Notons $A=x^{2026}$.

Division par $x^2-1$. Le reste vérifie $\mathrm{deg}R<2$, donc $R=ax+b$ et $A=(x^2-1)Q+ax+b$. Évaluons cette égalité aux deux racines du diviseur, $1$ et $-1$, qui annulent le premier terme : $$1=a+b\text{et}1=-a+b.$$ En additionnant, $b=1$ ; en soustrayant, $a=0$. Le reste vaut $R=1$.

Division par $(x-1{)}^2$. Le reste s'écrit encore $R=ax+b$, et $A=(x-1{)}^{2}Q+ax+b$. Évaluer en $1$ ne donne qu'une équation : $1=a+b$. Il en faut une seconde, et c'est la dérivation qui la fournit — la dérivée du produit $(x-1{)}^{2}Q$ est $2(x-1)Q+(x-1{)}^2{Q}^{\prime }$, qui s'annule encore en $1$ : $$2026x^{2025}=2(x-1)Q+(x-1{)}^2{Q}^{\prime }+a.$$ En $x=1$ : $a=2026$, d'où $b=1-2026=-2025$ et $$R=2026x-2025.$$

Contrôle. Ce reste n'est autre que le début de la formule de Taylor de $A$ en $1$ : $A(1)+A^{\prime }(1)(x-1)=1+2026(x-1)=2026x-2025$. Les deux calculs concordent.

Le point à retenir. On n'a jamais posé la division. Le reste modulo $(x-a{)}^k$ porte $k$ coefficients, et les $k$ conditions qui les déterminent sont les valeurs en $a$ de $A$ et de ses $k-1$ premières dérivées : ce reste est la troncature à l'ordre $k-1$ de la formule de Taylor en $a$, quel que soit le degré de $A$.