Les coefficients sont des dérivées

Ce qu'on montre. Que les coefficients d'un polynôme sont, à un factoriel près, ses dérivées en $0$ — puis un emploi qui évite tout calcul de dérivée.

Dérivation terme à terme. Fixons $k$ entre $0$ et $n$ et dérivons $k$ fois. Pour un monôme $x^j$ :

• si $j<k$, la dérivée $k$-ième est nulle (on dérive plus de fois que le degré) ;
• si $j\ge k$, elle vaut $j(j-1)\cdots (j-k+1)x^{j-k}=\frac{j!}{(j-k)!}{x}^{j-k}$.

Par linéarité de la dérivation, $$P^{(k)}(x)=\sum _{j=k}^n{a}_j\frac{j!}{(j-k)!}{x}^{j-k}.$$

Évaluation en $0$. Dans cette somme, seul le terme $j=k$ a un exposant nul ; tous les autres contiennent un facteur $x^{j-k}$ avec $j-k\ge 1$, donc s'annulent en $0$. Il reste $$P^{(k)}(0)=a_k\frac{k!}{0!}=k!a_k,\text{d’ouˋ}{a}_k=\frac{P^{(k)}(0)}{k!}.$$ C'est exactement la formule de Taylor polynomiale écrite au point $0$, lue à l'envers.

Application à $P=(1+x{)}^7$. La formule du binôme donne directement les coefficients : $$(1+x{)}^7=\sum _{k=0}^7(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{k})x^k,\text{donc}{a}_3=(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35.$$ Par la relation démontrée, $$P^{(3)}(0)=3!a_3=6\times 35=210.$$

Point délicat. La question demandait $P^{(3)}(0)$, pas $a_3$ : oublier le facteur $3!$ est l'erreur courante. Le facteur vient de ce que dériver trois fois $x^3$ produit $3\times 2\times 1$.

Contrôle. $P^{\prime }(x)=7(1+x{)}^6$, $P^{\prime \prime }(x)=42(1+x{)}^5$, $P^{\prime \prime \prime }(x)=210(1+x{)}^4$, donc $P^{\prime \prime \prime }(0)=210$.