mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 2 · Exercice d'entraînement

Les coefficients sont des dérivées

Polynômes · Multiplicité et formule de Taylor · ★★ niveau 2

Énoncé

Soit $P={\sum }_{k=0}^n{a}_k{x}^k$ un polynôme de ${\mathbb{R}}_n[x]$. Démontrer que $a_k=\frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ pour tout $k$ compris entre $0$ et $n$. En déduire la valeur de $P^{(3)}(0)$ pour $P=(1+x{)}^7$, sans effectuer aucune dérivation.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.