Les racines de la dérivée

Notons $x_1<x_2<\cdots <x_n$ les racines de $P$.

Sur chaque intervalle. Fixons $i\in [[1,n-1]]$. La fonction polynomiale $P$ est continue sur $[x_i,x_{i+1}]$, dérivable sur $]x_i,x_{i+1}[$, et $P(x_i)=P(x_{i+1})=0$. Le théorème de Rolle fournit donc un $c_i\in ]x_i,x_{i+1}[$ tel que $P^{\prime }(c_i)=0$.

Ces racines sont distinctes : chaque $c_i$ appartient à $]x_i,x_{i+1}[$, et ces intervalles sont deux à deux disjoints. On obtient ainsi $n-1$ racines distinctes de $P^{\prime }$.

Et il n'y en a pas d'autres : $P^{\prime }$ est de degré $n-1$, donc a au plus $n-1$ racines. Le compte est exact, et toutes les racines de $P^{\prime }$ sont réelles et simples.

Conséquence. Un polynôme scindé à racines simples a une dérivée elle-même scindée à racines simples, et les racines de $P^{\prime }$ séparent celles de $P$ — une racine de $P^{\prime }$ strictement entre deux racines consécutives de $P$. C'est ce qui rend la lecture du tableau de variations si simple dans ce cas.