Lire une factorisation

Ce qu'on montre. Tout se lit sur la factorisation, sans jamais développer.

Le degré. Le degré d'un produit est la somme des degrés : $$\mathrm{deg}P=3\times 1+1+2=6.$$

Les racines réelles et leurs multiplicités. Un produit de réels est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est.

• $(x-1{)}^3=0⟺x=1$ : racine de multiplicité $3$, car le facteur $(x-1)$ apparaît exactement trois fois.
• $(x+2)=0⟺x=-2$ : racine de multiplicité $1$ (racine simple).
• $x^2+1=0$ n'a aucune solution réelle, puisque $x^2+1\ge 1>0$ pour tout réel $x$.

$P$ a donc exactement deux racines réelles : $1$ (triple) et $-2$ (simple).

Somme des multiplicités. $3+1=4<6=\mathrm{deg}P$. L'écart de $2$ est exactement le degré du facteur $x^2+1$, qui n'apporte aucune racine réelle : c'est la situation normale d'une factorisation dans $\mathbb{R}[x]$, où subsistent des facteurs de degré $2$ sans racine réelle.

Le coefficient dominant. C'est le produit des coefficients dominants des facteurs : $1^3\times 1\times 1=1$. Le terme de plus haut degré de $P$ est donc $x^6$.

La valeur en $0$. On évalue chaque facteur : $$P(0)=(0-1{)}^3(0+2)(0^2+1)=(-1)\times 2\times 1=-2.$$