mathématiques approfondies (ECG 1re année) · Chapitre 2 · Exercice d'entraînement

Quand $x^{d} - 1$ divise $x^{n} - 1$

Polynômes · Degré, division et divisibilité · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $d$ et $n$ deux entiers avec $1 \leq d \leq n$ . Démontrer que si $d$ divise $n$ , alors le polynôme $x^{d} - 1$ divise $x^{n} - 1$ dans $R [x]$ . Illustrer sur $d = 3$ et $n = 9$ .

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Élève

Je voulais montrer que toute racine de $x^{d} - 1$ est racine de $x^{n} - 1$ . Dans $R$ , ça marche pour $1$ , et pour $- 1$ si $d$ est pair, mais dès que $d \geq 3$ , $x^{d} - 1$ n'a pas assez de racines réelles pour que ça suffise.

En effet, avec les seules racines réelles, cette voie ne mène pas loin. Exploite plutôt l'hypothèse $d ∣ n$ : en écrivant $n = d m$ avec $m$ entier, comment peux-tu réécrire $x^{n}$ ?

Élève

$x^{n}$ est une puissance $m$ -ième de $x^{d}$ . Mais je ne vois toujours pas comment faire apparaître $x^{d} - 1$ en facteur dans $x^{n} - 1$ .

Pour un réel $a$ , quelle factorisation de $a^{m} - 1$ connais-tu, liée aux sommes géométriques ? Et a-t-on le droit de l'utiliser lorsque $a$ est remplacé par un polynôme ?

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Quand xd−1 divise xn−1

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