Quatre degrés

Ce qu'on montre. Quatre degrés, et ce que les règles disent — ou ne disent pas.

Le produit. La règle $\mathrm{deg}(AB)=\mathrm{deg}A+\mathrm{deg}B$ s'applique sans condition : $$\mathrm{deg}((x^2+1)(x^3-x))=2+3=5.$$ Contrôle par le calcul : $(x^2+1)(x^3-x)=x^5-x^3+x^3-x=x^5-x$, de degré $5$.

La somme. Ici les deux termes de plus haut degré se compensent : $$(x^2+1)+(-x^2+3)=4,$$ polynôme constant non nul, de degré $0$. La règle générale n'est qu'une inégalité : $\mathrm{deg}(A+B)\le \max (\mathrm{deg}A,\mathrm{deg}B)$, avec égalité seulement si les coefficients dominants ne s'annulent pas entre eux. Ici $2+(-2)=0$ : la chute de degré est de deux unités.

La puissance. En appliquant la règle du produit deux fois : $$\mathrm{deg}((x^2+1{)}^3)=3\times 2=6.$$ Le coefficient dominant est $1^3=1$, non nul, ce qui confirme qu'aucune compensation n'est possible.

Le polynôme nul. Par convention, $\mathrm{deg}0=-\infty$.

Pourquoi cette convention. Elle est là pour que la règle $\mathrm{deg}(AB)=\mathrm{deg}A+\mathrm{deg}B$ n'ait aucune exception : si $A=0$, le produit $AB$ est nul, et l'égalité $-\infty =-\infty +\mathrm{deg}B$ reste vraie. Poser $\mathrm{deg}0=0$ casserait la règle.