Quelle est la multiplicité de la racine ?

On dérive et l'on évalue en $1$ :

$$\begin{array}{lll}P(x)=x^4-2x^3+2x-1& & P(1)=1-2+2-1=0\\ P^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+2& & P^{\prime }(1)=4-6+2=0\\ P^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x& & P^{\prime \prime }(1)=12-12=0\\ P^{\prime \prime \prime }(x)=24x-12& & P^{\prime \prime \prime }(1)=12\ne 0\end{array}$$

La première dérivée non nulle en $1$ est la troisième : $1$ est racine de multiplicité 3, et non double comme on pourrait le croire au vu des seules deux premières annulations.

Factorisation. $(x-1{)}^3$ divise donc $P$, qui est de degré $4$ : le quotient est de degré $1$. La division donne

$$P=(x-1{)}^3(x+1),$$

ce que le développement confirme : $(x^3-3x^2+3x-1)(x+1)=x^4-2x^3+2x-1$.

La leçon : la multiplicité est le rang de la première dérivée non nulle, et rien n'oblige à s'arrêter à la deuxième. S'arrêter trop tôt, c'est manquer un facteur — ici on aurait cherché un quotient de degré $2$ inexistant.