Reconstituer un polynôme à partir de ses dérivées

Ce qu'on montre. Qu'un polynôme de degré au plus $3$ est entièrement déterminé par ses quatre dérivées en un point, et lequel c'est ici.

La formule de Taylor polynomiale. Pour $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$ et $a\in \mathbb{R}$, l'égalité $$P(x)=\sum _{k=0}^3\frac{P^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k$$ est exacte : la somme est finie, il n'y a aucun reste. Avec $a=2$ : $$P(x)=1+\frac{0}{1}(x-2)+\frac{6}{2}(x-2{)}^2+\frac{12}{6}(x-2{)}^3=1+3(x-2{)}^2+2(x-2{)}^3.$$

Forme développée. $(x-2{)}^2=x^2-4x+4$ et $(x-2{)}^3=x^3-6x^2+12x-8$, donc $$P(x)=1+3x^2-12x+12+2x^3-12x^2+24x-16=2x^3-9x^2+12x-3.$$

Contrôle des quatre données. $$P(2)=16-36+24-3=1;P^{\prime }(x)=6x^2-18x+12,P^{\prime }(2)=24-36+12=0;$$ $$P^{\prime \prime }(x)=12x-18,P^{\prime \prime }(2)=6;P^{\prime \prime \prime }(x)=12.$$ Les quatre conditions sont satisfaites.

La valeur en $3$. Le plus court est d'utiliser la forme centrée en $2$, où $x-2=1$ : $$P(3)=1+3\times 1+2\times 1=6.$$ Contrôle sur la forme développée : $2\times 27-9\times 9+36-3=54-81+36-3=6$.