Somme et produit des racines d'un trinôme

Ce qu'on montre. Les relations entre coefficients et racines, puis deux emplois.

Les relations. Si $a$ et $b$ sont racines de $P$, qui est unitaire de degré $2$, alors $P$ se factorise en $P=(x-a)(x-b)$ : chaque racine fournit un facteur, et la somme des multiplicités atteint le degré. En développant : $$(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab.$$ Deux polynômes égaux ont les mêmes coefficients, donc $$a+b=s\text{et}ab=p.$$

Deux réels de somme $5$ et de produit $6$. D'après ce qui précède, ce sont les racines de $x^2-5x+6$. Son discriminant vaut $25-24=1>0$, d'où les racines $$\frac{5-1}{2}=2\text{et}\frac{5+1}{2}=3.$$ Contrôle : $2+3=5$ et $2\times 3=6$.

Les puissances des racines de $x^2-3x+1$. Ici $s=3$ et $p=1$ ; le discriminant $9-4=5$ est positif, il y a bien deux racines réelles $a$ et $b$.

Somme des carrés. De $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ on tire $$a^2+b^2=s^2-2p=9-2=7.$$

Somme des cubes. De l'identité $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ : $$a^3+b^3=s(s^2-3p)=3(9-3)=18.$$

Point délicat. On n'a jamais eu besoin des valeurs $a=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$ : toute expression symétrique en $a$ et $b$ s'exprime à partir de $s$ et $p$ seuls. Calculer les racines aurait fait apparaître des racines carrées qui se seraient compensées à la fin.