Taylor pour un polynôme

Les dérivées en $1$ valent $P(1)=1$, $P^{\prime }(1)=3$, $P^{\prime \prime }(1)=6$, $P^{\prime \prime \prime }(1)=6$, et $P^{(4)}=0$. La formule de Taylor donne

$$x^3=P(1)+\frac{P^{\prime }(1)}{1!}(x-1)+\frac{P^{\prime \prime }(1)}{2!}(x-1{)}^2+\frac{P^{\prime \prime \prime }(1)}{3!}(x-1{)}^3=1+3(x-1)+3(x-1{)}^2+(x-1{)}^3.$$

Vérification. En développant :

$$1+3x-3+3(x^2-2x+1)+(x^3-3x^2+3x-1)=x^3+(3-3)x^2+(3-6+3)x+(1-3+3-1)=x^3.$$

Deux remarques. Il n'y a aucun reste : pour un polynôme, la formule de Taylor est une identité exacte dès l'ordre $n=\mathrm{deg}P$, puisque toutes les dérivées suivantes sont nulles. Et les coefficients $1,3,3,1$ sont ceux du binôme — ce n'est pas un hasard, $x^3=((x-1)+1{)}^3$.