Trois trinômes, trois situations

Ce qu'on montre. Trois trinômes, distingués par le signe de leur discriminant $\Delta =b^2-4ac$.

Premier : $x^2-3x+2$. $\Delta =9-8=1>0$, deux racines réelles distinctes : $$\frac{3-1}{2}=1\text{et}\frac{3+1}{2}=2.$$ Le coefficient dominant étant $1$ : $$x^2-3x+2=(x-1)(x-2).$$

Deuxième : $x^2+x+1$. $\Delta =1-4=-3<0$ : aucune racine réelle. Il est donc irréductible dans $\mathbb{R}[x]$ — c'est un facteur du second degré que la factorisation réelle laisse tel quel.

On peut le voir aussi par la forme canonique : $$x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}>0\text{pour tout reˊel }x,$$ ce qui exclut toute racine réelle et montre au passage que ce trinôme est de signe constant.

Troisième : $2x^2-4x+2$. $\Delta =16-16=0$ : une racine double, $x=\frac{4}{4}=1$. Sans oublier le coefficient dominant $2$ : $$2x^2-4x+2=2(x-1{)}^2.$$

Point délicat. Le coefficient dominant ne disparaît pas dans la factorisation : écrire $(x-1{)}^2$ seul donnerait un polynôme deux fois plus petit. Contrôle en $x=0$ : le trinôme vaut $2$, et $2(0-1{)}^2=2$.

Conclusion. Le seul irréductible dans $\mathbb{R}[x]$ est $x^2+x+1$. Les deux autres se factorisent en produits de facteurs de degré $1$.