Un polynôme à valeurs entières sans coefficients entiers

Ce qu'on montre. Qu'« être à valeurs entières » et « être à coefficients entiers » sont deux propriétés distinctes, la première étant strictement plus faible.

Le cas de $H$. Soit $n\in \mathbb{Z}$. Parmi les deux entiers consécutifs $n$ et $n-1$, l'un au moins est pair : leur produit $n(n-1)$ est donc pair, et $H(n)=\frac{n(n-1)}{2}\in \mathbb{Z}$. Pourtant $H=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x$ a des coefficients non entiers. (Pour $n\ge 0$, $H(n)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)$ compte les paires d'un ensemble à $n$ éléments : la valeur est entière pour une raison de dénombrement.)

Calcul de $\alpha ,\beta ,\gamma$. On évalue en $0$, $1$, $2$, en notant $H(0)=0$, $H(1)=0$, $H(2)=1$ : $$P(0)=\alpha ,P(1)=\alpha +\beta ,P(2)=\alpha +2\beta +\gamma .$$ D'où, en résolvant de proche en proche, $$\alpha =P(0),\beta =P(1)-P(0),\gamma =P(2)-2P(1)+P(0).$$

Conclusion. Si $P(0),P(1),P(2)$ sont entiers, alors $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ le sont, comme sommes et différences d'entiers. Pour $n\in \mathbb{Z}$, $$P(n)=\alpha +\beta n+\gamma H(n)$$ est une combinaison à coefficients entiers de $1$, $n$ et $H(n)$, tous entiers d'après la première partie : donc $P(n)\in \mathbb{Z}$.

Point délicat. C'est le choix de la base qui fait tout : dans la base canonique $(1,x,x^2)$, les coordonnées de $P$ n'ont aucune raison d'être entières. Le triplet $(1,x,H)$ est adapté parce que ses éléments sont eux-mêmes à valeurs entières.